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线性代数

课程资料勘误

本页面记录课程讲义及相关资料中的勘误，欢迎同学们反馈。

  1. Lecture行列式讲义第2页笔误 2026-03-09

    第2页三阶行列式的计算中，$\det(A)$的第五项$-a_{12}a_{23}a_{31}$应为$-a_{12}a_{21}a_{33}$，即公式应为:

    \[\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}\]

    感谢徐彤佳的指正。

  2. Lecture讲义2第5页笔误 2026-03-10

    第5页中第一个等式，消去矩阵乘以(8)的左侧系数矩阵，得到(10)的左侧系数矩阵应为：

    \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 4 & 9 & -3 \\ -2 & -3 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & -3 & 7 \end{bmatrix}.\]
  3. Lecture讲义3第4页笔误（3月23日再更新） 2026-03-23

    第4页二阶矩阵的计算中，其逆矩阵必须满足应为：

    \[A^{-1}A=I \quad \Longrightarrow \quad \begin{array}{rcc}ax+cy & = & 1 \\bx+dy & = & 0 \\az+cw & = & 1 \\ bz+dw & = & 0 \\ \end{array}\]

    第4页二阶矩阵的逆矩阵里，$x,y,z,w$ 的解缺少了一个系数，即：

    \[x=\frac{1}{ad-bc}\cdot d,\ y=\frac{1}{ad-bc}\cdot (-b),\ z=\frac{1}{ad-bc}\cdot (-c),\ w=\frac{1}{ad-bc}\cdot a\]

    感谢徐彤佳的指正。

  4. PPT课件2第20页笔误 2026-03-16

    第20页消元法解方程的矩阵形式中，应为：

    \[\begin{bmatrix} 2 & 4 & -2\\ 4 & 9 & -3\\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\8\\10 \end{bmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{bmatrix} 2 & 4 & -2\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\4\\8 \end{bmatrix}\]

    感谢冯驰元的指正。

  5. Lecture 7讲义第9页笔误 2026-04-20

    第9页证明行交换不改变列秩的时候，比较应该是 $A$ 和 $A’$的第$k$个向量 $\mathbf{a}_k$和$\mathbf{a}’_k$：

    \[\begin{aligned} \mathbf{a}_k&=\begin{bmatrix} a_{1k}&\ldots &{\color{red}a_{ik}}&\ldots &{\color{red}a_{jk}}&\ldots &a_{nk} \end{bmatrix}^T\\ \mathbf{a}'_k&=\begin{bmatrix} a_{1k}&\ldots &{\color{red}a_{jk}}&\ldots &{\color{red}a_{ik}}&\ldots &a_{nk} \end{bmatrix}^T \end{aligned}\]

    原来的版本下标有误，现已更正。

    感谢鲁芷仪的指正。

  6. Lecture 8讲义第5页证明错误 2026-04-20

    第5页关于引理 1.9 的 4: $(V^{\bot})^{\bot}=V$ 证明有误，新版本已经更正。

  7. Lecture 9 讲义第1页笔误 2026-05-07

    第1页倒数第六行，第二个方程应该为：

    \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\ 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\3\\4\\5 \end{bmatrix}\]

    感谢鲁芷仪的指正。

  8. Lecture 行列式 讲义第18页、第20页笔误 2026-05-19

    讲义第18页第7行，“从而由行列式的线性性，我们有”下面的公式中

    \[{\color{red}e_1} \text{应为} {\color{red}e_i}.\]

    讲义第20页例2.20 中 置换 $\sigma_0$的第四个逆序对应该是 $(2,3)$，不是 $(2,1)$.

    讲义第20页逆序数的重要性质中，第三个例子应为：

    \[\tau(3241)=4 \Longrightarrow 3241\rightarrow 3214\rightarrow 2314\rightarrow 2134\rightarrow 1234\]

    感谢徐彤佳的指正。

  9. Lecture 行列式 讲义第25页笔误 2026-05-25

    第25页定理2.30 中矩阵 $A$ 的最后一行第一个元素应该为 $a_{n1}$，原先 $a_{11}$ 是笔误，新版本已经更正。

    感谢余欣怡的指正。

  10. Lecture 12 讲义第2页笔误 2026-05-29

    第2页加粗特征值和特征向量中，应为：

    \[AX^{-1}=\begin{bmatrix} A\mathbf{x}_1 & A\mathbf{x}_2\end{bmatrix}=X^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0\\ 0& \lambda_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 &\mathbf{x}_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0\\ 0& \lambda_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda_1\mathbf{x}_1 &\lambda_2\mathbf{x}_2\end{bmatrix}\]

    和

    \[{\color{red}A\mathbf{x}_1=\lambda_1\mathbf{x}_1,\quad A\mathbf{x}_2=\lambda_2\mathbf{x}_2}\]

    原先的版本有些下标书写不正确。

    感谢余欣怡的指正。